Olá, pessoal! Neste post, vamos resolver juntos a questão 14 da prova objetiva de matemática do vestibular da FGV 2024. Confira o enunciado e acompanhe a resolução passo a passo, que também está disponível no meu canal do YouTube! Não esqueça de dar um like no vídeo e se inscrever no canal para mais dicas e resoluções como esta. Forte abraço e bons estudos!
Enunciado
Quatro amigos estão realizando um sorteio de amigo oculto (também chamado amigo secreto): eles escreveram seus nomes em um papel, colocaram em um chapéu e cada um vai retirar um papel aleatoriamente, sem reposição, com o nome do amigo que ele deverá presentear. Eles estão torcendo para que nenhum amigo sorteie o próprio nome (ciclo de tamanho 1) e também que não ocorra que dois amigos se escolham mutuamente (ciclo de tamanho 2). A probabilidade de o sorteio ser do jeito que eles desejam, isto é, de gerar um único ciclo de tamanho 4, é
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
Gabarito: C
Resolução:
Digamos que os amigos sejam 
, 
, 
e 
.
Uma das coisas que queremos que aconteça é que cada um dos amigos não pegue o papel com o próprio nome.
Ou seja, queremos o número de sequências formadas por , , e em que o não esteja na primeira posição, o não esteja na segunda posição, o não esteja na terceira posição e o não esteja na quarta posição.
Em outras palavras, queremos o número de permutações caóticas dos elementos , , e . O número de sequências desse tipo é igual a:
![\[\begin{array}{rl} & 4!\cdot \left(\dfrac{1}{0!}-\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}\right)\\= & 12 - 4 + 1\\= & 9.\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-11c6e003129a2744562b81235aa58703_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Mas, dentre essas sequências, há aquelas em que dois amigos que se sorteiam mutuamente.
Essas sequências são:
![\[\begin{array}{c}\left(A \leftrightarrow B, C \leftrightarrow D\right),\\\left(A \leftrightarrow C, B \leftrightarrow D\right),\\\left(A \leftrightarrow D, B \leftrightarrow C\right).\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7db05e71dcb542c45a29d4b654b57dfc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Logo, dentre as 9 sequências que encontramos anteriormente, 3 NÃO são favoráveis.
Dessa forma, o número de elementos do evento que queremos que ocorra é igual a
.Como o número de elementos do espaço amostral é igual a
, a probabilidade de o sorteio ser do jeito que eles desejam é igual a: ![\[\frac{6}{24}=\frac{1}{4}.\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-79393a7af76cbecd2710b8dd5d5c8681_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Portanto, o gabarito é a letra C.
