Olá, pessoal! Neste post, vamos resolver juntos a questão 3 da prova de matemática do grupo 2 do vestibular da PUC-Rio 2024. Confira o enunciado e acompanhe a resolução passo a passo, que também está disponível no meu canal do YouTube! Não esqueça de dar um like no vídeo e se inscrever no canal para mais dicas e resoluções como esta. Forte abraço e bons estudos!
Enunciado
Sejam 
um número inteiro e 
um número real, tais que 
. Sabe-se que é uma raiz do polinômio 
. Qual é o valor de ?
(A) 
(B) 
(C) 0
(D) 1
(E) 2
Gabarito: E
Resolução:
Se é raiz do polinômio 
, então:
![\[\begin{array}{rl}& p\left(x\right)=0 \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow & x^2-4x+2=0.\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c2afb81cdc457af2e8fa078ae3aaced5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Logo,
![\[\begin{array}{rcl}\Delta & = & \left(-4\right)^2 -4 \cdot 1 \cdot 2\\& = & 16-8\\& = & 8.\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-54ed957fe8eaf6ce3e938ac3f83f824b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Então,
![\[\begin{array}{rcl}x& = & \dfrac{-\left(-4\right)\pm\sqrt{8}}{2\cdot1}\\[1em]& = & \dfrac{4\pm2\sqrt{2}}{2}\\& = & 2\pm\sqrt{2}.\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9247df6143abae8cf8727809f262c206_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Assim,
![\[\begin{array}{rl}& a+\sqrt{2}=2+\sqrt{2} \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow & a = 2 \in \mathbb{Z}\\[1em]& \text{ou}\\[1em]& a+\sqrt{2}=2-\sqrt{2} \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow & a = 2 - 2\sqrt{2} \notin \mathbb{Z}.\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4d69574a7429657062282c8b09c38289_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Portanto, o gabarito é a letra E.
