(21) 99567-8279

Fale comigo pelo Whastapp

@profgustavoadolfo

Fale comigo pelo Instagram

(21) 99567-8279

@profgustavoadolfo

Youtube Instagram Facebook Linkedin

PUC-Rio 2024 | Grupo 4 | Questão 4

Compartilhe:

Facebook Instagram Youtube Linkedin
Pontífica Universidade Católica do Rio de Janeiro

Olá, pessoal! Neste post, vamos resolver juntos a questão 4 da prova de matemática do grupo 4 do vestibular da PUC-Rio 2024. Confira o enunciado e acompanhe a resolução passo a passo, que também está disponível no meu canal do YouTube! Não esqueça de dar um like no vídeo e se inscrever no canal para mais dicas e resoluções como esta. Forte abraço e bons estudos!

Enunciado

Seja f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} a função definida por f\left(x\right)=2x^2-10x+8.

a) Encontre os pontos de interseção entre o gráfico de f e o eixo x.
b) Seja g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} a função definida por g\left(x\right)=2x-8. Encontre as coordenadas dos pontos de interseção entre os gráficos de f e de g.
c) Seja h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} a função definida por h\left(x\right)=2x+b, onde b \in \mathbb{R}. Para quais valores de b existe pelo menos um ponto de interseção real entre os gráficos de f e de h?

Gabarito:

a) Os pontos de interseção entre o gráfico de f e o eixo x são \left(4;0\right) e \left(1;0\right).
b) Os pontos de interseção entre os gráficos de f e g são \left(4;0\right) e \left(2;-4\right).
c) b \geq -10.

Resolução

a) Todo ponto pertencente ao eixo x tem ordenada igual a zero. Então, para encontrar os pontos de interseção entre o gráfico de f e o eixo x, devemos resolver a equação f\left(x\right)=0. Então, temos que:

    \[2x^2-10x+8=0\]


Primeiramente, vamos calcular o discriminante da equação acima:

    \[\begin{array}{rcl}\Delta & = & \left(-10\right)^2-4\cdot2\cdot8\\& = & 100-64\\& = & 36\end{array}\]


Agora, vamos substituir este valor de \Delta na fórmula resolvente da equação do 2º grau:

    \[\begin{array}{rcl}x & = & \dfrac{-\left(-10\right)\pm\sqrt{36}}{2\cdot2}\\[1em]& = & \dfrac{10\pm6}{4}\end{array}\]


Logo, temos que:

    \[x=4 \text{ ou } x=1.\]


Portanto, os pontos de interseção entre o gráfico de f e o eixo x são \left(4;0\right) e \left(1;0\right).

b) Para encontrar os pontos de interseção entre os gráficos de f e g, devemos resolver a equação f\left(x\right)=g\left(x\right).
Então, temos que:

    \[\begin{array}{rl}& 2x^2-10x+8=2x-8 \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow & 2x^2-12x+16=0 \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow & x^2-6x+8=0\end{array}\]


Assim como no item anterior, vamos calcular o discriminante da equação acima.

    \[\begin{array}{rcl}\Delta & = & \left(-6\right)^2-4\cdot1\cdot8\\& = & 36-32\\& = & 4\end{array}\]


Substituindo na fórmula resolvente da equação do 2º grau, temos que:

    \[\begin{array}{rcl}x & = & \dfrac{-\left(-6\right)\pm\sqrt{4}}{2\cdot1}\\[1em]& = & \dfrac{6\pm2}{2}\end{array}\]


Logo, temos que:

    \[x=4 \text{ ou } x=2.\]


Se x=4, então y=2\cdot4-8=0.
Se x=2, então y=2\cdot2-8=-4.
Portanto, os pontos de interseção entre os gráficos de f e g são \left(4;0\right) e \left(2;-4\right).

c) Para encontrar os pontos de interseção entre os gráficos de f e h, devemos resolver a equação f\left(x\right)=h\left(x\right).
Então, temos que:

    \[\begin{array}{rl}& 2x^2-10x+8=2x+b \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow & 2x^2-12x+8-b=0\end{array}\]


Para que exista pelo menos um ponto de interseção real entre os gráficos de f e h, a equação acima deve ter pelo menos uma solução real. Para isso, é necessário que:

    \[\begin{array}{rl}& \Delta \geq 0 \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow & \left(-12\right)^2-4\cdot2\cdot\left(8-b\right) \geq 0 \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow & 144-64 +8b \geq 0 \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow & 8b \geq -80 \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow & b \geq -10\end{array}\]


Portanto, para que exista pelo menos um ponto de interseção real entre os gráficos de f e g, b \geq -10.

Foto de Professor Gustavo Adolfo

Professor Gustavo Adolfo

Gustavo Adolfo é professor de Matemática com mais de 20 anos de experiência, especializado em vestibulares, concursos militares e olimpíadas de Matemática. Mestre em Matemática e apaixonado por transformar o aprendizado em resultados concretos.

Deixe um comentário

O seu endereço de e-mail não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *

Este site utiliza o Akismet para reduzir spam. Saiba como seus dados em comentários são processados.

Quer conquistar a vaga dos seus sonhos?

Fale comigo
O que mais você encontra por aqui…

Posts mais recentes

Este site utiliza cookies para melhorar sua experiência de navegação e personalizar o conteúdo. Ao continuar navegando, você concorda com o uso de cookies. Para mais informações, consulte nossa Política de Privacidade.

Aceitar