PUC-Rio 2024 | Grupos 1 e 3 | Questão 3

Olá, pessoal! Neste post, vamos resolver juntos a questão 3 da prova de matemática dos grupos 1 e 3 do vestibular da PUC-Rio 2024. Confira o enunciado e acompanhe a resolução passo a passo, que também está disponível no meu canal do YouTube! Não esqueça de dar um like no vídeo e se inscrever no canal para mais dicas e resoluções como esta. Forte abraço e bons estudos!

Enunciado

Considere uma hipérbole H de equação   e o ponto P de coordenadas . Seja a reta de coeficiente angular passando pelo ponto . Assim, a equação de é .

a) Encontre todos os pontos de interseção entre a hipérbole H e a reta .
b) Encontre todos os pontos de interseção entre a hipérbole H e a reta .
c) Para cada , quantos pontos distintos do plano cartesiano pertencem à interseção entre a hipérbole H e a reta ? Divida em casos, se necessário.

Gabarito

a)

b)

c) não há pontos de interseção;
ou ou há apenas um ponto de interseção;
ou há dois pontos de interseção.

Resolução

a) Temos que:

   

Logo,

   

Portanto, o único ponto de interseção entre e H é  .

b) Temos que:

   

Logo,

   

Então, .
Portanto, o único ponto de interseção entre   e H é o ponto  .

c) Temos que:

   

Logo,

   

O discriminante da equação acima é igual a

   

Então, temos as seguintes possibilidades:

i) :

   

Neste caso, não há pontos de interseção.

ii)  :

   

Neste caso, há apenas um ponto de interseção.

iii) :

   

Neste caso, há dois pontos de interseção, exceto quando  , em que há apenas um ponto de interseção.