Olá, pessoal! Neste post, vamos resolver juntos a questão 9 do Exame Discursivo de matemática do vestibular da UERJ 2025. Confira o enunciado e acompanhe a resolução passo a passo, que também está disponível no meu canal do YouTube! Não esqueça de dar um like no vídeo e se inscrever no canal para mais dicas e resoluções como esta. Forte abraço e bons estudos!
Enunciado
Considere a sequência dos números naturais ímpares e as somas 
e 
:
(an) = (1, 3, 5, 7, …)
S1 = a1 + a2 + a3 + … + an
S2 = an+1 + an+2 + an+3 + … + a2n
é a soma dos 
primeiros números ímpares e é a soma dos números ímpares seguintes. Calcule e, também, a razão 
.
Resposta
Resolução
A sequência 
é uma progressão aritmética de primeiro termo igual a 1 e razão igual a 2. Logo,
![\[\begin{array}{rcl}a_n & = & 1 + \left(n-1\right) \cdot 2\\& = & 1 + 2n - 2\\& = & 2n-1.\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4d713f161b235632b8077b35017c567d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\begin{array}{rcl}S_1 & = & \dfrac{\left(a_1+a_n\right)\cdot n}{2} \\& = & \dfrac{\left[1+\left(2n-1\right)\right]\cdot n}{2}\\& = & \dfrac{2n \cdot n}{2}\\& = & n^2\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f68b22e70e243df2590f3d476990269b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\begin{array}{rcl}S_2 & = & \dfrac{\left(a_{n+1}+a_{2n}\right)\cdot 2n}{2} \\& = & \dfrac{\left[\left(2\cdot\left(n+1\right)-1\right)+\left(2\cdot\left(2n\right)-1\right)\right]\cdot n}{2}\\& = & \dfrac{\left(2n+2-1+4n-1\right) \cdot n}{2}\\& = & \dfrac{6n \cdot n}{2}\\& = & 3n^2.\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-282a900870992cb19698d04ef7055976_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\begin{array}{rcl}\dfrac{S_1}{S_2} & = & \dfrac{n^2}{3n^2} \\& = & \dfrac{1}{3}.\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-13d3facfea7fd191947b60c64300962d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
