Olá, pessoal! Neste post, vamos resolver juntos a questão 6 da prova de matemática do grupo 2 do vestibular da PUC-Rio 2024. Confira o enunciado e acompanhe a resolução passo a passo, que também está disponível no meu canal do YouTube! Não esqueça de dar um like no vídeo e se inscrever no canal para mais dicas e resoluções como esta. Forte abraço e bons estudos!
Enunciado
Seja 
uma progressão geométrica de números reais positivos. Sabe-se que 
e que 
. Qual é o valor de 
?
(A) 100
(B) 101
(C) 117
(D) 120
(E) 125
Gabarito: D
Resolução:
Temos que:
![\[\begin{array}{rl}& \begin{cases}a_1 \cdot \dfrac{q^5-1}{q-1} = 31\\a_6 \cdot \dfrac{q^5-1}{q-1} = 992\end{cases} \Leftrightarrow\\[2em]\Lefrightarrow & \dfrac{a_1}{a_6}=\dfrac{31}{992} \Leftrightarrow\\[1em]\Leftrightarrow & a_6 = a_1 \cdot 32 \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow & a_6 = a_1 \cdot 2^5\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7dd462be21a1aeb0cbe429041d76dabe_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Assim, conclui-se que a razão da progressão geométrica é igual a 2.
Logo,
![\[\begin{array}{rl}& a_1 \cdot \dfrac{2^5-1}{2-1}=31 \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow & a_1=1.\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c633d6662ae8a856a225b4703079fa06_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Portanto,
![\[\begin{array}{rl}& a_4+a_5+a_6+a_7\\= & a_4 \cdot \dfrac{q^4-1}{q-1}\\[1em]= & a_1 \cdot q^3\cdot \dfrac{q^4-1}{q-1}\\[1em]= & 1\cdot2^3\cdot\dfrac{2^4-1}{2-1}\\[1em]= & 8 \cdot 15\\= & 120.\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d37a3e149d4d0491df9fdacd717cc261_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Portanto, o gabarito é a letra D.
