Olá, pessoal! Neste post, vamos resolver juntos a questão 2 da prova de matemática dos grupos 1 e 3 do vestibular da PUC-Rio 2024. Confira o enunciado e acompanhe a resolução passo a passo, que também está disponível no meu canal do YouTube! Não esqueça de dar um like no vídeo e se inscrever no canal para mais dicas e resoluções como esta. Forte abraço e bons estudos!
Enunciado
Jorge tem uma urna com 100 bolas, das quais 75 são verdes e 25 são vermelhas.
a) Jorge tira uma bola da urna e observa sua cor. Qual é a probabilidade de que ela seja verde?
b) Após devolver a bola e sacudir a urna, Jorge tira simultaneamente quatro bolas. Qual é a probabilidade de que duas sejam verdes e duas sejam vermelhas?
c) Após devolver as bolas e sacudir a urna, Jorge tira simultaneamente cinco bolas da urna. Qual é o número mais provável de bolas vermelhas dentre as bolas retiradas?
Gabarito:
a) 
b) 
c) É mais provável retirar uma bola vermelha.
Resolução
a) Sejam 
o evento “retirar uma bola verde” e 
o espaço amostral.
Então, 
e 
.
Portanto, a probabilidade de ocorrer é
![\[\mathbb{P}\left(A\right)=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}.\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c6433db705249edb1530fdb211bf7da8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
b) Sejam
o evento “retirar duas bolas verdes e duas bolas vermelhas” e o espaço amostral.Então,
![\[\begin{array}{rcl}n\left(B\right)& = & C_{75}^2 \cdot C_{25}^2\\[1em]& = & \dfrac{75!}{2! \cdot 73!} \cdot \dfrac{25!}{2! \cdot 23!}\\[1em]& = & 75 \cdot 37 \cdot 25 \cdot 12\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4f0221ff5a4cf0fb68e8266c6e33f06a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e
![\[\begin{array}{rcl}n\left(\Omega\right) & = & C_{100}^4\\[1em]& = & \dfrac{100!}{4! \cdot 96!}\\[1em]& = & \dfrac{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\\[1em]& = & 25 \cdot 33 \cdot 49 \cdot 97.\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b1c89de44247876bf6268cc8c093beb0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Portanto, a probabilidade de
ocorrer é igual a: ![\[\begin{array}{rcl}\mathbb{P}\left(B\right) & = & \dfrac{75 \cdot 37 \cdot 25 \cdot 12}{25 \cdot 33 \cdot 49 \cdot 97}\\[1em]& = & \dfrac{11100}{52283}\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-87b38455a2a7513d3c5f7bee464d6b29_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
c) Para todos os eventos a seguir, o número de elementos do espaço amostral
é igual a 
.Vamos calcular as probabilidades dos eventos
“retirar 
bolas vermelhas da urna” com 
:i)
: ![\[\begin{array}{rcl}\mathbb{P}\left(C_0\right) & = & \dfrac{C_{25}^0 \cdot C_{75}^5}{C_{100}^5}\\[1em]& = & \dfrac{1\cdot\frac{75!}{5!\cdot70!}}{C_{100}^5}\\[1em]& = & \dfrac{17.259.390}{C_{100}^5}\\[1em]\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-96c13e147c82c62dc8ea4d3b8db2020e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
ii)
: ![\[\begin{array}{rcl}\mathbb{P}\left(C_1\right) & = & \dfrac{C_{25}^1 \cdot C_{75}^4}{C_{100}^5}\\[1em]& = & \dfrac{\frac{25!}{1!24!}\cdot\frac{75!}{4!\cdot71!}}{C_{100}^5}\\[1em]& = & \dfrac{30.386.250}{C_{100}^5}\\[1em]\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b6768df9e00e644db615bcd6afa48ee7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
iii)
: ![\[\begin{array}{rcl}\mathbb{P}\left(C_2\right) & = & \dfrac{C_{25}^2 \cdot C_{75}^3}{C_{100}^5}\\[1em]& = & \dfrac{\frac{25!}{2!23!}\cdot\frac{75!}{3!\cdot72!}}{C_{100}^5}\\[1em]& = & \dfrac{20.257.500}{C_{100}^5}\\[1em]\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a592954e16b41275bce00dc9429b2d94_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
iv)
: ![\[\begin{array}{rcl}\mathbb{P}\left(C_3\right) & = & \dfrac{C_{25}^3 \cdot C_{75}^2}{C_{100}^5}\\[1em]& = & \dfrac{\frac{25!}{3!22!}\cdot\frac{75!}{2!\cdot73!}}{C_{100}^5}\\[1em]& = & \dfrac{6.382.500}{C_{100}^5}\\[1em]\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3a2352cde5491da8040f34aacfbb831f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
v)
: ![\[\begin{array}{rcl}\mathbb{P}\left(C_5\right) & = & \dfrac{C_{25}^4 \cdot C_{75}^1}{C_{100}^5}\\[1em]& = & \dfrac{\frac{25!}{4!21!}\cdot\frac{75!}{1!\cdot74!}}{C_{100}^5}\\[1em]& = & \dfrac{948.750}{C_{100}^5}\\[1em]\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9e6a401ce8a82caf5f1fe955be5a0f3d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
vi)
: ![\[\begin{array}{rcl}\mathbb{P}\left(C_6\right) & = & \dfrac{C_{25}^5 \cdot C_{75}^0}{C_{100}^5}\\[1em]& = & \dfrac{\frac{25!}{5!20!}\cdot\frac{75!}{0!\cdot75!}}{C_{100}^5}\\[1em]& = & \dfrac{53.130}{C_{100}^5}\\[1em]\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3a086380a508abf642c77fd5eed3d2f0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Portanto, é mais provável retirar uma bola vermelha.
