Olá, pessoal! Neste post, vamos resolver juntos a questão 1 da prova de matemática do grupo 4 do vestibular da PUC-Rio 2024. Confira o enunciado e acompanhe a resolução passo a passo, que também está disponível no meu canal do YouTube! Não esqueça de dar um like no vídeo e se inscrever no canal para mais dicas e resoluções como esta. Forte abraço e bons estudos!
Enunciado
Seja 
um triângulo retângulo de lados 
, 
e 
de comprimentos 
, 
e 
.
a) Calcule a área do triângulo .
b) Seja 
o ponto médio do segmento . Calcule o comprimento do segmento 
.
c) Seja 
o ponto médio do segmento . Mais geralmente, seja 
o ponto médio de 
. Calcule o comprimento de 
.
Gabarito:
a) 24 u.a.
b) 5
c) 
Resolução
a) Como
![\[10^2=6^2+8^2,\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0beb0de33130627c74510a67a3e7c759_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
temos que o triângulo
é retângulo em 
.Portanto, a área do triângulo
é igual a ![\[\frac{6 \times 8}{2} = 24.\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f75d60970706b9a79c75fa2aac79c99b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
b) Como
é ponto médio de , temos que 
é a mediana relativa à hipotenusa .Por propriedade do triângulo retângulo, temos que a mediana relativa à hipotenusa tem medida igual à metade da medida da hipotenusa.
Portanto,
![\[A_2A_3=\frac{10}{2}=5.\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-688af1cb70d6fd4ad893c536c87693db_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
c) O segmento
é base média do triângulo . Logo, ![\[\begin{array}{rcl}A_3A_4 & = & \dfrac{A_0A_2}{2}\\[1em]& = & \dfrac{8}{2}\\[1em]& = & 4.\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1444430897e572610d3b59784bc4a5c5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
O segmento
é base média do triângulo 
. Logo, ![\[\begin{array}{rcl}A_4A_5 & = & \dfrac{A_1A_3}{2}\\[1em] & = & \dfrac{\frac{A_0A_1}{2}}{2}\\[1em]& = & \dfrac{A_0A_1}{4}\\[1em]& = & \dfrac{10}{4}\\[1em]& =& \dfrac{5}{2}.\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4bfd87c8209f4b76a3541cc373c514db_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
O segmento
é base média do triângulo 
. Logo, ![\[\begin{array}{rcl}A_5A_6 & = & \dfrac{A_2A_4}{2}\\[1em] & = & \dfrac{\frac{A_1A_2}{2}}{2}\\[1em]& = & \dfrac{A_1A_2}{4}\\[1em]& = & \dfrac{6}{4}\\[1em]& =& \dfrac{3}{2}.\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-338b1326370c3fc6f753e4bdd08c5950_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
O segmento
é base média do triângulo 
. Logo, ![\[\begin{array}{rcl}A_6A_7 & = & \dfrac{A_3A_5}{2}\\[1em] & = & \dfrac{\frac{A_2A_3}{2}}{2}\\[1em]& = & \dfrac{A_2A_3}{4}\\[1em]& = & \dfrac{5}{4}\\[1em]& =& \dfrac{3}{2}.\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3809335395f4bfa82e4d3c7cf0080dd4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
O segmento
é base média do triângulo 
. Logo, ![\[\begin{array}{rcl}A_7A_8 & = & \dfrac{A_4A_6}{2}\\[1em]& = & \dfrac{\frac{A_3A_4}{2}}{2}\\[1em]& = & \dfrac{A_3A_4}{4}\\[1em]& = & \dfrac{4}{4}\\[1em]& =& 1.\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bb0fbcace2f160158d65e8e1b6363927_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
O segmento
é base média do triângulo 
. Logo, ![\[\begin{array}{rcl}A_8A_9 & = & \dfrac{A_5A_7}{2}\\[1em]& = & \dfrac{\frac{A_4A_5}{2}}{2}\\[1em]& = & \dfrac{A_4A_5}{4}\\[1em]& = & \dfrac{\frac{5}{2}}{4}\\[1em]& =& \dfrac{5}{8}.\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-38aba69261a3a87d6824ad37a7f89a48_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
