Olá, pessoal! Neste post, vamos resolver juntos a questão 6 da prova de matemática do grupo 5 do vestibular da PUC-Rio 2024. Confira o enunciado e acompanhe a resolução passo a passo, que também está disponível no meu canal do YouTube! Não esqueça de dar um like no vídeo e se inscrever no canal para mais dicas e resoluções como esta. Forte abraço e bons estudos!
Enunciado
Seja ![\theta \in \left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{8}\right]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1241ac4bd5dbac3203a8ce8525c291b2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
tal que 
. Qual é o valor de 
?
Gabarito: ANULADA
Resolução
Da relação fundamental da trigonometria, temos que:
![\[\begin{array}{rl}& \sin^2\left(2\theta\right)+\cos^2\left(2\theta\right)=1\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow & \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 + \cos^2\left(2\theta\right) = 1\Leftrightarrow\\[1em]\Leftrightarrow & \dfrac{1}{9} + \cos^2\left(2\theta\right) = 1 \Leftrightarrow\\[1em]\Leftrightarrow & \cos^2\left(2\theta\right) = 1 - \dfrac{1}{9} \Leftrightarrow\\[1em]\Leftrightarrow & \cos^2\left(2\theta\right) = \dfrac{8}{9} \Leftrightarrow\\[1em]\Leftrightarrow & \cos\left(2\theta\right) = \sqrt{\dfrac{8}{9}}\Leftrightarrow\\[1em]\Leftrightarrow & \cos\left(2\theta\right) = \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \text{ ou }\cos\left(2\theta\right) = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\\[1em]\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-09ebb09750c55478001fae091f503c38_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dado que
, então 
.Dessa forma,
, o que nos levaria a concluir que 
.Entretanto, para
, temos que: ![\[\begin{array}{rcl}\dfrac{\sqrt{2}}{2} & = & \sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\\[1em] & \leq & \sin\left(2\theta\right)\\[1em]& \leq & \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\\[1em]& = & 1.\end{array}\]](https://www.professorgustavoadolfo.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9c7101638e593ee07a239b960a8bcf08_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ocorre que
não está neste intervalo e, consequentemente, o problema não tem solução.Portanto, a questão foi ANULADA.
